Ý nghĩa của phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và tổng hợp các dạng toán thường gặp

Dạng toán viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn hoặc đồ thị hàm số thường xuyên xuất hiện trong đề thi THPT. Đây là một dạng bài không quá khó và có thể giúp học sinh ghi điểm dễ dàng nếu nắm vững kiến thức nền tảng. Vì vậy, việc hiểu rõ và luyện tập thành thạo là điều rất cần thiết.

Trong bài viết dưới đây, FPT Shop sẽ hướng dẫn bạn cách giải dạng toán này thông qua các công thức và phương pháp cụ thể, giúp bạn củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng làm bài.

Ý nghĩa của phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Khi nói đến đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀, ta đang nói đến hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) tại điểm M(x₀, y₀), trong đó y₀ = f(x₀).

Từ định nghĩa này, ta suy ra rằng phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm M(x₀, y₀) sẽ có dạng:

• y = f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀)

Đây là dạng chuẩn của phương trình tiếp tuyến, trong đó:

• f'(x₀) là đạo hàm của hàm số tại x₀ (hay chính là hệ số góc của tiếp tuyến),
• (x₀, f(x₀)) là tọa độ của tiếp điểm trên đồ thị.

Để viết được phương trình tiếp tuyến, bước đầu tiên và quan trọng nhất là bạn phải xác định được hoành độ của tiếp điểm x₀. Khi đã có x₀, bạn sẽ dễ dàng tính được f(x₀) và f'(x₀) để hoàn thiện phương trình.

Tổng hợp các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến

FPT Shop đã tổng hợp những dạng bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn và đồ thị hàm số cơ bản mà bạn thường gặp. Mời bạn tham khảo để áp dụng linh hoạt trong từng dạng bài tập.

Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0, y0)

Giả sử đề bài cho đồ thị (C): y = f(x) và yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M(x₀, y₀). Khi đó, bạn thực hiện theo hai bước:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) để tìm hệ số góc tiếp tuyến. Khi đó, hệ số góc k = y'(x₀).

Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0, y0) theo công thức:

y= y'(x₀)(x - x₀) + y₀

Lưu ý:

• Nếu đề bài cho sẵn hoành độ tiếp điểm x₀, bạn thay x₀ vào hàm số để tìm tung độ y₀, tức là y₀ = f(x₀).
• Nếu đề bài cho tung độ tiếp điểm y₀, bạn thay y₀ vào hàm số rồi giải phương trình f(x₀) = y₀ để tìm x₀.

Khi đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến giữa đồ thị (C): y = f(x) và đường thẳng (d): y = ax + b, bạn cần tìm hoành độ tiếp điểm bằng cách giải phương trình f(x) = ax + b. Đây là phương trình xác định giao điểm giữa đồ thị và đường thẳng. Từ nghiệm tìm được, bạn xác định tiếp điểm rồi viết phương trình tiếp tuyến tương ứng.

Viết phương trình tiếp tuyến khi biết trước hệ số góc k

Khi đề bài cung cấp hàm số y = f(x) với đồ thị (C) và yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến Δ có hệ số góc k đã cho, bạn có thể giải bài toán theo các bước sau:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số y = f(x), tức là xác định f’(x), và tìm tiếp điểm M(x₀, y₀) nằm trên đồ thị.

Bước 2:

Áp dụng điều kiện tiếp tuyến có hệ số góc k, tức là giải phương trình f’(x₀) = k để tìm giá trị x₀. Sau đó, thay x₀ vào hàm số ban đầu để tính y₀ = f(x₀).

Bước 3:

Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x₀, y₀) theo công thức: y = k(x − x₀) + y₀

Cuối cùng, thay giá trị của k, x₀ và y₀ vào để có phương trình cụ thể của tiếp tuyến.

Một số lưu ý quan trọng:

Nếu tiếp tuyến d song song với đường thẳng Δ: y = ax + b, thì hệ số góc của tiếp tuyến sẽ bằng a, tức là k = a.

Sau khi viết được phương trình tiếp tuyến, cần kiểm tra xem có trùng với đường thẳng Δ hay không. Nếu trùng, phương án đó cần bị loại bỏ vì không thỏa yêu cầu "tiếp xúc tại một điểm".

Nếu tiếp tuyến d vuông góc với đường thẳng Δ:

Nếu tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α, thì hệ số góc k sẽ được tính theo công thức:

• k = ±tan(α)

Tổng quát, nếu tiếp tuyến tạo với đường thẳng Δ: y = ax + b một góc α, bạn có thể tính góc giữa hai đường thẳng thông qua công thức liên quan đến hệ số góc của từng đường.

Tại đó:

Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước

Khi đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) sao cho tiếp tuyến này đi qua một điểm A(xₐ, yₐ) đã biết, bạn có thể áp dụng một trong hai cách giải sau:

Cách 1: Giả sử biết hệ số góc k của tiếp tuyến

Bước 1: Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc là k. Khi đó, phương trình đường thẳng đi qua điểm A(xₐ, yₐ) có dạng:

y = k(x - xₐ) + yₐ

Bước 2: Tiếp tuyến phải tiếp xúc với đồ thị (C), nên cần giải hệ phương trình gồm:

Bước 3: Sau khi giải được giá trị của x và k, bạn thay trở lại vào phương trình y = k(x - xₐ) + yₐ để xác định phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Cách 2: Giả sử biết tiếp điểm trên đồ thị

Bước 1: Giả sử tiếp điểm M có tọa độ là (x₀, f(x₀)). Khi đó, hệ số góc tiếp tuyến tại M chính là đạo hàm của hàm số tại x₀, tức: k = f′(x₀)

Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại M(x₀, f(x₀)) được viết dưới dạng:

y = f′(x₀)(x - x₀) + f(x₀)

Vì tiếp tuyến này đi qua điểm A(xₐ, yₐ) nên ta thay tọa độ A vào phương trình trên để thiết lập phương trình:

yₐ = f′(x₀)(xₐ - x₀) + f(x₀)

Đây là phương trình theo ẩn x₀ mà bạn cần giải để tìm được tọa độ tiếp điểm.

Bước 3: Sau khi tìm được x₀, thay vào biểu thức đạo hàm f′(x₀) và hàm số f(x₀), rồi thế vào phương trình: y = f′(x₀)(x - x₀) + f(x₀) để tìm ra phương trình tiếp tuyến cần xác định.

Bài tập vận dụng

Sau khi đã nắm được các công thức viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, bạn hãy áp dụng ngay kiến thức vừa học thông qua các bài tập dưới đây. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn ghi nhớ công thức lâu hơn và làm bài chính xác hơn.

Bài tập 1

Đề bài: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 2 tại điểm M(2, 2).

Hướng dẫn giải:

Trước tiên, ta cần tính đạo hàm của hàm số:

y' = 3x² - 6x

Tiếp theo, tính hệ số góc tiếp tuyến tại x = 2:

k = y'(2) = 3(2)² - 6(2) = 12 - 12 = 0

Khi đó, phương trình tiếp tuyến tại điểm M(2, 2) được viết theo công thức: y - y₀ = k(x - x₀)

Thay các giá trị vào: y - 2 = 0(x - 2)

⇔ y = 2

Kết luận: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 2.

Bài tập 2

Đề bài:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x³ - 3x + 2 biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.

Hướng dẫn giải:

Đầu tiên, ta cần tính đạo hàm của hàm số: y′ = 3x² - 3

Để tìm tiếp điểm mà tại đó tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9, ta giải phương trình:

3x² - 3 = 9 ⇔ 3x² = 12 ⇔ x² = 4 ⇔ x = ±2

Vậy có hai giá trị x₀ thỏa mãn là x₀ = 2 và x₀ = -2.

Với x₀ = 2, thay vào hàm số ban đầu: y₀ = (2)³ - 3(2) + 2 = 8 - 6 + 2 = 4

Tiếp điểm là M₁(2, 4)

Phương trình tiếp tuyến tại M₁ là: y = 9(x - 2) + 4 = 9x - 18 + 4 = 9x - 14

Với x₀ = -2, thay vào hàm số ban đầu: y₀ = (-2)³ - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0

Tiếp điểm là M₂(-2, 0)

Phương trình tiếp tuyến tại M₂ là: y = 9(x + 2) = 9x + 18

Kết luận:

Có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu của đề bài, đó là:

• d₁: y = 9x - 14
• d₂: y = 9x + 18

Bài tập 3

Đề bài:

Cho hàm số y = 3x - 4x² có đồ thị là (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(1; 3).

Hướng dẫn giải:

Trước tiên, ta tính đạo hàm của hàm số: y′ = 3 - 8x

Đây chính là biểu thức hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ M(x₀, y₀) trên đồ thị.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x₀, y₀) có dạng: y = y′(x₀)(x - x₀) + y(x₀)

Vì tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 3), nên ta thay tọa độ điểm A vào phương trình tiếp tuyến để tìm x₀.

Khi thay vào điều kiện: 3 = (3 - 8x₀)(1 - x₀) + (3x₀ - 4x₀²)

Giải phương trình này, ta tìm được hai nghiệm:

• x₀ = 0 và x₀ = 2

Trường hợp 1: x₀ = 0

Khi đó, y₀ = y(0) = 3(0) - 4(0)² = 0

Hệ số góc tiếp tuyến: y′(0) = 3 - 8(0) = 3

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(0; 0) là: y = 3(x - 0) + 0 = 3x

Trường hợp 2: x₀ = 2

Khi đó, y₀ = y(2) = 3(2) - 4(2)² = 6 - 16 = -10

Hệ số góc tiếp tuyến: y′(2) = 3 - 8(2) = 3 - 16 = -13

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(2; -10) là: y = -13(x - 2) - 10 = -13x + 26 - 10 = -13x + 16

Như vậy, hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu là:

• y = 3x và y = -13x + 16

Lời kết

Như vậy, qua bài viết này, FPT Shop đã hướng dẫn chi tiết cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn và đồ thị hàm số. Hy vọng rằng những kiến thức trên đây sẽ giúp bạn hiểu rõ bản chất các dạng toán liên quan đến tiếp tuyến và áp dụng hiệu quả vào bài tập để đạt kết quả học tập tốt nhé!

Nếu bạn là học sinh hay sinh viên đang tìm kiếm một chiếc laptop học tập giá tốt, đừng quên ghé FPT Shop để khám phá những sản phẩm phù hợp với nhu cầu học tập của mình.

Tham khảo ngay tại đây: Laptop sinh viên

Xem thêm

• Mọi điều về Phương trình bậc 2 trong Toán học: Giới thiệu, cách bấm máy tính cùng bài tập vận dụng
• Phương trình mặt cầu trong không gian ba chiều: Ứng dụng trong hình học giải tích và thực tế