Cách tính thể tích khối chóp cụt cùng những bài tập minh hoạ đi kèm cực hay và hữu ích

Khối chóp cụt là một hình khối đặc biệt rất thường gặp. Việc nắm vững công thức và phương pháp tính thể tích khối chóp cụt sẽ giúp chúng ta giải quyết các bài tập một cách dễ dàng. Bài viết này sẽ đưa bạn đi sâu vào khám phá thể tích khối chóp cụt, từ định nghĩa, công thức tính đến các dạng bài tập thường gặp.

Khám phá khối chóp cụt

Khối chóp cụt là gì?

Khối chóp cụt là một khối hình học đặc biệt, được tạo ra khi ta "cắt" phần đỉnh của một khối chóp bằng một mặt phẳng song song với mặt đáy của hình đó. Phần còn lại, nằm giữa mặt đáy ban đầu và mặt phẳng cắt mới, chính là khối chóp cụt.

Khối chóp cụt không chỉ là một khái niệm trong toán học, mà còn xuất hiện rất nhiều trong cuộc sống hằng ngày. Ví dụ, bạn có thể thấy hình dạng này ở những chiếc xô, chậu hoa hoặc thậm chí trong kiến trúc của một số tòa nhà. Việc hiểu rõ về khối chóp cụt sẽ giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán thực tế liên quan đến hình học và không gian.

Các tính chất của khối chóp cụt

Dưới đây là một số tính chất quan trọng của khối chóp cụt:

• Hai đáy là hai đa giác đồng dạng: Hai mặt đáy của khối chóp cụt là hai đa giác (hình tam giác, tứ giác, ngũ giác,...) có các cạnh tương ứng song song và tỉ số bằng nhau.
• Các mặt bên là hình thang: Các mặt bên của khối chóp cụt đều là những hình thang. Hai cạnh đáy của hình thang chính là hai cạnh tương ứng của hai đáy của khối chóp cụt.
• Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy: Các đường thẳng chứa các cạnh bên của khối chóp cụt sẽ đồng quy tại một điểm duy nhất. Điểm này chính là đỉnh của hình chóp ban đầu (trước khi bị cắt).

Các loại khối chóp cụt

Trước khi tìm hiểu kỹ về thể tích khối chóp cụt, bạn nên nắm được các loại khối chóp cụt thường gặp. Khối chóp cụt có thể được phân loại dựa trên hình dạng của mặt đáy:

Hình chóp cụt đều

Hình chóp cụt đều là một khối hình học đặc biệt, được tạo ra khi ta cắt một hình chóp đều bằng một mặt phẳng song song với mặt đáy của hình chóp đó. Phần khối nằm giữa mặt phẳng cắt và mặt phẳng đáy của hình chóp ban đầu chính là hình chóp cụt đều.

Khối chóp cụt đều có những tính chất đặc trưng sau:

• Mỗi mặt bên là hình thang cân: Điều này xuất phát từ việc hình chóp ban đầu là hình chóp đều, nên các cạnh bên và cạnh đáy của nó có tính đối xứng và bằng nhau.
• Hai mặt đáy song song: Hình chóp cụt đều có hai mặt đáy là hai đa giác đều và chúng nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau.

Khối chóp cụt tam giác

Khối hình có đáy và mặt cắt là tam giác. Nếu các tam giác này có các cạnh bằng nhau, thì nó là khối chóp cụt tam giác đều. Khối chóp cụt tam giác thường được sử dụng trong các công trình kiến trúc hiện đại nhờ vào hình dáng độc đáo và khả năng tạo ra các không gian mở.

Khối chóp cụt tứ giác

Đây là loại khối chóp cụt có đáy và mặt cắt là các tứ giác. Nếu các tứ giác này đều thì nó là khối chóp cụt tứ giác đều. 

Khối chóp cụt ngũ giác

Khối chóp cụt ngũ giác có đáy và mặt cắt là các ngũ giác. Nó sẽ là khối chóp cụt ngũ giác đều nếu 2 mặt đáy là hình ngũ giác có các cạnh bằng nhau. 

Khối chóp cụt lục giác

Là loại khối chóp cụt có đáy và mặt cắt là các lục giác. Khối chóp cụt lục giác thường được ứng dụng trong các công trình xây dựng và thiết kế cảnh quan, mang lại vẻ đẹp hiện đại và tinh tế.

Khối chóp cụt tròn/hình nón cụt

Hình khối chóp cụt tròn, hay còn được biết đến với tên gọi phổ biến là hình nón cụt. Là một khối hình học được tạo thành khi ta cắt hình nón bằng một mặt phẳng song song với đáy của hình nón đó. Phần còn lại giữa mặt phẳng cắt và mặt đáy chính là hình nón cụt.

Hình nón cụt có hai đáy là hình tròn, một đáy lớn và một đáy nhỏ cùng song song. Đường thẳng nối tâm của hai đáy được gọi là trục của hình nón cụt. Chiều cao của hình nón cụt là khoảng cách giữa hai mặt đáy và vuông góc với cả hai đáy.

Cách tính thể tích khối chóp cụt

Công thức thể tích khối chóp cụt

Thể tích khối chóp cụt được tính bằng một phần ba chiều cao của khối chóp cụt nhân với tổng của diện tích đáy lớn, diện tích đáy nhỏ và căn bậc hai của tích diện tích đáy lớn với diện tích đáy nhỏ.

Công thức tổng quát là:

V = h/3 x (S1 + S2 + √(S1 x S2))

Trong đó:

• V: Thể tích của khối chóp cụt.
• h: Chiều cao của khối chóp cụt (khoảng cách vuông góc giữa hai mặt đáy).
• S1: Diện tích mặt đáy lớn.
• S2: Diện tích mặt đáy nhỏ.

Công thức diện tích mặt đáy

Dễ bắt gặp, trong các bài toán tính thể tích khối chóp cụt thường sẽ cần tìm các thành tố như chiều cao hoặc diện tích đáy trước khi cho ra kết quả cuối cùng. Vậy công thức tính diện tích các loại mặt đáy trong khối chóp là gì?

Diện tích hình tam giác

• Công thức tổng quát: S = (1/2) x a x h
• Tam giác đều: S = (√3/4) x a²

Trong đó: a là độ dài cạnh đáy của tam giác; h là chiều cao của tam giác (khoảng cách từ đỉnh vuông góc với cạnh đáy).

Diện tích hình tứ giác

• Hình vuông: S = a²

Trong đó: a là chiều dài cạnh của hình.

• Hình chữ nhật: S = a x b

Trong đó: a là chiều dài và b là chiều rộng của hình chữ nhật.

• Hình bình hành: S = a x h

Trong đó: a là độ dài cạnh đáy của hình bình hành; h là chiều cao của hình bình hành (khoảng cách vuông góc giữa hai cạnh đáy song song).

• Hình thoi: S = (1/2) x d1 x d2

Trong đó: d1, d2 lần lượt là chiều dài của hai đường chéo hình thoi.

• Hình thang: S = (1/2) x (a + b) x h

Trong đó: a, b là độ dài hai cạnh đáy của hình thang; h là chiều cao của hình thang (khoảng cách vuông góc giữa hai cạnh đáy song song).

Diện tích hình ngũ giác đều

S = (1/4) x √(5 + 2√5) x a²

Trong đó: a là chiều dài phần cạnh của ngũ giác đều.

Hình lục giác đều

S = (3√3/2) x a²

Trong đó: a là chiều dài của cạnh hình lục giác đều.

Diện tích hình tròn

S = π x r²

Trong đó: π (pi) là hằng số xấp xỉ 3.14159; r là bán kính của hình tròn.

Bài tập ví dụ tính thể tích khối chóp cụt

Bài tập 1

Đề bài: Một khối chóp cụt có chiều cao 10cm. Diện tích đáy lớn là 25cm², diện tích đáy nhỏ là 9cm². Xác định độ lớn thể tích khối chóp cụt này.

Lời giải:

Theo đề ta có: h = 10cm, S1 = 25cm², S2 = 9cm²

Áp dụng công thức thể tích khối chóp cụt: V = h/3 x (S1 + S2 + √(S1 x S2))

⇔ V = 10/3 x (25 + 9 + √(25 x 9))

⇔ V = 10/3 x (34 + 15)

⇔ V = 10/3 x 49

⇔ V ≈ 163.33cm³

Vậy thể tích của khối chóp cụt là khoảng 163.33cm³.

Bài tập 2

Đề bài: Một chiếc xô có dạng hình chóp cụt. Đường kính đáy lớn là 30cm, đường kính đáy nhỏ là 20cm, chiều cao là 40cm. Tính thể tích của chiếc xô.

Lời giải:

Đầu tiên, ta cần tính diện tích đáy lớn (S1) và diện tích đáy nhỏ (S2):

Bán kính đáy lớn (R1) = 30/2 = 15cm

=> Diện tích đáy lớn: S1 = π x R1² = π x 15² ≈ 706.86cm²

Bán kính đáy nhỏ (R2) = 20/2 = 10cm

=> Diện tích đáy nhỏ: S2 = π x R2² = π x 10² ≈ 314.16cm²

Áp dụng công thức thể tích khối chóp cụt: V = h/3 x (S1 + S2 + √(S1 x S2))

Trong đó:

• h = 40cm
• S1 ≈ 706.86cm²
• S2 ≈ 314.16cm²

Thay vào ta có:

V = 40/3 x (706.86 + 314.16 + √(706.86 x 314.16))

⇔ V = 40/3 x (1021.02 + 471.24)

⇔ V = 40/3 x 1492.26

⇔ V ≈ 19896.8cm³

Vậy thể tích của chiếc xô là khoảng 19896.8cm³.

Bài tập 3

Đề bài: Một khối chóp cụt đều có cạnh đáy lớn là 10cm, cạnh đáy nhỏ là 6cm và chiều cao là 8cm. Thể tích của khối chóp cụt này là bao nhiêu?

Lời giải:

Vì đây là khối chóp cụt đều, đáy lớn và đáy nhỏ là hình vuông. Từ đó tính được diện tích đáy lớn (S1) và diện tích đáy nhỏ (S2):

• S1 = 10 x 10 = 100cm²
• S2 = 6 x 6 = 36cm²

Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp cụt: V = h/3 x (S1 + S2 + √(S1 x S2))

⇔ V = 8/3 x (100 + 36 + √(100 x 36))

⇔ V = 8/3 x (136 + 60)

⇔ V = 8/3 x 196

⇔ V ≈ 522.67cm³

Vậy thể tích của khối chóp cụt là khoảng 522.67cm³.

Tạm kết

Việc nắm vững công thức và phương pháp tính thể tích khối chóp cụt sẽ giúp ích rất nhiều trong quá trình học tập và thực tiễn cuộc sống. Với những kiến thức được chia sẻ trong bài viết này, mong rằng bạn đã có thể tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến thể tích khối chóp cụt một cách dễ dàng.

Một chiếc laptop HP bền bỉ, chất lượng cao và hiệu năng ổn định sẽ là thiết bị tuyệt vời cần có trong quá trình khám phá tri thức. FPT Shop sẽ mang đến cho bạn những lựa chọn laptop HP đa dạng, phù hợp với túi tiền và nhu cầu sử dụng. Đừng chần chừ, hãy đến ngay cửa hàng FPT Shop gần nhất hoặc truy cập website để trải nghiệm và sở hữu chiếc laptop HP với mức giá cực kỳ hấp dẫn!

Laptop HP

Xem thêm:

• Công thức tính thể tích hình cầu, các dạng bài tập và các ứng dụng hữu ích trong cuộc sống
• Công thức tính diện tích xung quanh hình lập phương là gì? Ôn tập Toán học cùng FPT Shop