Công thức cấp số cộng – Tất tần tật kiến thức về cấp số cộng mà bạn nên biết nếu muốn giỏi Toán

Bạn muốn tổng hợp toàn bộ công thức cấp số cộng và các dạng đề toán liên quan một cách logic và trực quan nhất? Bài viết này sẽ giúp bạn chinh phục chủ đề này vô cùng hiệu quả. Chúng ta sẽ cùng FPT Shop phá bỏ rào cản khó hiểu về mặt công thức và biến những bài toán tưởng chừng phức tạp thành phép tính đơn giản. Hãy chuẩn bị sẵn giấy bút và cùng bắt đầu hành trình chinh phục cấp số cộng thôi nào!

Giới thiệu sơ lược về cấp số cộng

Cấp số cộng là gì?

Cấp số cộng là một dãy số mà hiệu giữa hai số hạng liên tiếp luôn là một hằng số. Hằng số này được gọi là công sai, thường được ký hiệu là d.

Nói cách khác, một dãy số (un) được gọi là cấp số cộng nếu tồn tại một số thực d sao cho:

un+1 = un + d với mọi n ≥ 1

Trong đó:

• un: là số hạng thứ n của cấp số cộng.
• d: là công sai của cấp số cộng (d = un+1 - un).

Ví dụ 1:

• Dãy số 1, 4, 7, 10, 13,... là một cấp số cộng với công sai d = 3.
• Dãy số 10, 7, 4, 1, -2,... là một cấp số cộng với công sai d = -3.

Đặc điểm quan trọng của cấp số cộng là sự đều đặn trong chu kỳ tăng hoặc giảm của các số hạng. Hiểu rõ khái niệm này là nền tảng để chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến cấp số cộng.

Cấp số cộng có tính chất như thế nào?

Trước khi tìm hiểu các công thức cấp số cộng cơ bản thì bạn cần nắm bắt những tính chất của nó như sau:

Ví dụ 2:

Dãy số 3;6;9;12;153;6;9;12;15 là một cấp số cộng vì:

6=3+39=6+312=9+315=12+36=3+39=6+312=9+315=12+3

Đây là CSC có công sai d=4d=4 và số hạng đầu u1=3u1=3

Cách tính số hạng tổng quát ra sao?

Để tính số hạng tổng quát của cấp số cộng, chúng ta có thể áp dụng công thức sau đây:

un=u1+(n–1)d,(n≥2)un=u1+(n–1)d,(n≥2).

d=un−u1n−1d=un−u1n−1.

Ví dụ 3: 

Cho CSC (un)(un) biết u1=−1,d=3u1=−1,d=3. Tìm u20u20.

Cách giải: u20=u1+(20−1)d=u1+19d=−1+19.3=56

• Tính chất của số hạng tổng quát

• Tổng n số hạng đầu

Một số ví dụ áp dụng công thức cấp số cộng

• Bài toán 1: Cho một cấp số cộng có u1=−3; u6=27. Tìm d ?

Hướng dẫn giải​:

Dựa vào công thức cấp số cộng ta có:

u6=27⇔u1+5d=27⇔−3+5d=27⇔d=6

• Bài toán 2: Xác định a để 3 số: 1+3a; a2+5; 1−a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

Hướng dẫn giải​

Ba số: 1+3a; a2+5; 1−a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi:

a2+5−(1+3a)=1−a−(a2+5)⇔a2−3a+4=−a2−a−4⇔a2−a+4=0

Kết luận: PT vô nghiệm

Những dạng bài tập cấp số cộng cơ bản

Các dạng bài tập cấp số cộng cơ bản thường xoay quanh việc áp dụng các công thức và tính chất đã học để tìm các đại lượng chưa biết trong cấp số cộng. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp:

Dạng 1: Nhận biết cấp số cộng

Phương pháp thực hiện:

• Bước 1: Tìm công sai khi biết hai số hạng liên tiếp nhau theo công thức: d=un–un–1, ∀n≥2.
• Bước 2: Kết luận
  • Nếu d là số không đổi thì dãy (un) là CSC.
  • Nếu d thay đổi theo n thì dãy (un) không là CSC.

Dạng 2: Tìm công sai từ công thức cấp số cộng

Phương pháp thực hiện:

Sử dụng các tính chất của CSC ở trên, sau đó biến đổi để tính công sai d.

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số cộng

Phương pháp thực hiện:

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát un=u1+(n–1)d.

Dạng 4: Tính tổng cấp số cộng của n số hạng đầu tiên

Phương pháp thực hiện:

Ta vận dụng công thức tính tổng cấp số cộng:

Dạng 5: Tìm cấp số cộng

Phương pháp thực hiện:

• Tìm các yếu tố xác định một cấp số cộng như: số hạng đầu u1, công sai d.
• Tìm công thức cho số hạng tổng quát un=u1+(n–1)d.

Phương pháp tìm tổng của cấp số cộng

Theo định nghĩa cơ bản, cấp số cộng là dãy số mà trong đó, mỗi số hạng đều có khả năng tăng thêm một lượng không đổi.

Nếu muốn tính tổng các số hạng của cấp số cộng theo phương pháp đơn giản nhất thì bạn có thể cộng nhẩm tất cả các số.

Thế nhưng, phương pháp này sẽ không khả thi khi cấp số cộng gồm nhiều số hạng. Để xử lý các bài toán khó, chúng ta có thể vận dụng cách tìm trung bình cộng của số hạng đầu và số hạng cuối, rồi nhân với số lượng số hạng.

Cách xác định một cấp số cộng

Để xác định một dãy số có phải là cấp số cộng hay không, ta có thể dựa vào định nghĩa cấp số cộng là một dãy số mà hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số, gọi là công sai (ký hiệu thường là d).

Phương pháp xác định như sau:

Kiểm tra hiệu giữa các số hạng liên tiếp

• Chọn ít nhất ba số hạng: Lấy ít nhất ba số hạng liên tiếp trong dãy số cần kiểm tra. Việc lấy nhiều hơn ba số hạng sẽ giúp tăng độ tin cậy.
• Tính hiệu: Tính hiệu giữa số hạng thứ hai và số hạng thứ nhất, số hạng thứ ba và số hạng thứ hai và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi tính hiệu giữa tất cả các cặp số hạng liên tiếp.
• Kiểm tra tính hằng số: Nếu tất cả các hiệu này đều bằng nhau thì dãy số đó là một cấp số cộng. Giá trị chung của các hiệu này chính là công sai (d).

Kiểm tra hiệu giữa các số hạng cách đều

Phương pháp này hữu ích hơn khi dãy số dài và bạn muốn kiểm tra nhanh chóng.

• Chọn các cặp số hạng cách đều: Chọn hai cặp số hạng cách đều nhau trong dãy. Ví dụ: số hạng thứ nhất và thứ ba, số hạng thứ hai và thứ tư.
• Tính hiệu: Tính hiệu giữa các số hạng trong mỗi cặp.
• Kiểm tra tính hằng số: Nếu hiệu giữa các cặp số hạng cách đều nhau luôn bằng nhau và bằng 2d (gấp đôi công sai) thì dãy số đó là cấp số cộng. 

Ví dụ minh họa:

Dãy số 10, 15, 20, 25, 30:

• Hiệu giữa các số hạng liên tiếp: 15 - 10 = 5; 20 - 15 = 5; 25 - 20 = 5; 30 - 25 = 5.
• Tất cả các hiệu đều bằng 5. Do đó, đây là một cấp số cộng với công sai d = 5.

Lưu ý: Phương pháp trên chỉ là điều kiện cần, không phải điều kiện đủ. Nếu hiệu giữa các số hạng liên tiếp không bằng nhau thì chắc chắn dãy số đó không phải là cấp số cộng. Tuy nhiên, nếu hiệu bằng nhau, ta chỉ có thể kết luận dãy số có thể là cấp số cộng, bạn cần kiểm tra thêm các tiêu chí khác. Thông thường, khi đề bài cho là cấp số cộng, ta chỉ cần kiểm tra một vài cặp số hạng liên tiếp để xác định công sai.

Cách tính số hạng trong cấp số cộng

Nếu ta biết:

• a₁: Số hạng đầu tiên của cấp số cộng
• aₙ: Số hạng cuối cùng của cấp số cộng
• d: Công sai (hiệu giữa hai số hạng liên tiếp)

Thì công thức tính số số hạng n là:

n = (aₙ - a₁) / d + 1

Giải thích công thức:

• (aₙ - a₁) / d: Biểu thức này tính số khoảng cách giữa các số hạng. Vì giữa mỗi hai số hạng liên tiếp có một khoảng cách bằng d nên tổng số khoảng cách sẽ là (aₙ - a₁) / d.
• + 1: Chúng ta cộng thêm 1 vì số khoảng cách luôn ít hơn số số hạng 1 đơn vị. Ví dụ, nếu có 5 số hạng thì chỉ có 4 khoảng cách giữa chúng.

Ví dụ minh họa:

Xét cấp số cộng 10, 15, 20, 25, 30:

• a₁ = 10
• aₙ = 30
• d = 5

Áp dụng công thức:

n = (30 - 10) / 5 + 1 = 20 / 5 + 1 = 4 + 1 = 5

Vậy có 5 số hạng trong cấp số cộng này.

Tạm kết

Bài viết trên tổng hợp những công thức cấp số cộng cơ bản mà chúng ta nên nắm bắt. Hy vọng với những chia sẻ từ FPT Shop đã giúp các bạn ghi nhớ và áp dụng hiệu quả, tránh tình trạng sai sót trong quá trình giải toán.

Máy tính xách tay là một công cụ hữu ích giúp học sinh trau dồi, ôn luyện kiến thức với phương pháp học tập online. Để tìm mua những dòng laptop chính hãng với giá cả ưu đãi nhất, hãy lựa chọn FPT Shop nhé!

Laptop giá tốt

Mời bạn xem thêm:

• 5 lý do để học sinh, sinh viên chọn mua laptop tại FPT Shop
• Lợi ích tuyệt vời khi cho trẻ tiếp cận sớm với máy tính bảng thông minh