Tổng hợp đầy đủ công thức lượng giác dễ hiểu, dễ nhớ dành cho học sinh từ lớp 9 đến lớp 11

Công thức lượng giác là một phần không thể thiếu trong thế giới toán học, từ việc giải các bài toán hình học đơn giản cho đến ứng dụng phức tạp trong khoa học và kỹ thuật. Đặc biệt đối với học sinh lớp 9 đến lớp 11 cần nắm chắc các kiến thức lượng giác nhằm hoàn thành chương trình giáo dục của nhà trường. Để làm được điều này, mời bạn cùng FPT Shop tham khảo bài viết bên dưới.

Tính ứng dụng của công thức lượng giác

Công thức lượng giác đóng vai trò quan trọng trong nhiều dạng bài toán khác nhau, không chỉ trong toán học mà còn trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Dưới đây là một số ứng dụng phổ biến của chúng:

• Bài toán hình học phẳng và không gian: Nhiều dạng công thức lượng giác, chẳng hạn như định lý sin và định lý cos được sử dụng để giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác, đặc biệt là tam giác không vuông. Chúng giúp tính toán chiều dài cạnh, góc và diện tích tam giác.
• Giải phương trình lượng giác: Những phương trình chứa các hàm sin, cos, tan thường được giải bằng cách áp dụng các công thức liên quan để đơn giản hóa và tìm nghiệm.
• Chế tạo và thiết kế kỹ thuật: Trong kỹ thuật, công thức lượng giác giúp xác định lực, gia tốc và chuyển động trong cơ học. Ví dụ, trong thiết kế cầu, bánh răng và hệ thống truyền động.
• Hệ thống sóng và dao động: Trong vật lý, chúng được sử dụng để mô tả sóng âm, sóng điện từ và các hiện tượng dao động khác. Các hàm sin và cos là cơ sở để diễn tả sóng điều hòa.
• Định vị và hàng hải: Lượng giác cầu được dùng để tính toán trên mặt cầu của Trái Đất. Ví dụ như đo khoảng cách và góc giữa hai điểm trên bề mặt.
• Thiên văn học: Công thức lượng giác giúp tính toán vị trí của các hành tinh, ngôi sao, hiện tượng thiên văn khác thông qua các góc và khung thời gian.
• Điện tử và viễn thông: Phân tích tín hiệu và truyền thông số dựa nhiều vào lượng giác trong việc giải mã, điều tiết và truyền tải tín hiệu.

Những công thức lượng giác quan trọng cần biết

1. Tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Với:

• sin α: là tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền của góc α
• cos α: là tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền của góc α
• tan α: là tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc α
• cot α: là tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối của góc α

Bí quyết ghi nhớ

Mẹo ghi nhớ "Sin đi học, Cos không hư, Tan đoàn kết, Cot kết đoàn" là một cách thú vị để nhớ công thức lượng giác cơ bản cho các góc đặc biệt trong một tam giác vuông. Mỗi cụm từ tương ứng với tỷ lệ giữa các cạnh của tam giác vuông như sau:

• Sin đi học: Sin = đối / huyền (sin của một góc bằng tỷ lệ giữa cạnh đối diện với cạnh huyền)
• Cos không hư: Cos = kề / huyền (cos của một góc bằng tỷ lệ giữa cạnh kề với cạnh huyền)
• Tan đoàn kết: Tan = đối / kề (tan của một góc bằng tỷ lệ giữa cạnh đối diện với cạnh kề)
• Cot kết đoàn: Cot = kề / đối (cot của một góc bằng tỷ lệ giữa cạnh kề với cạnh đối diện)

Cách ghi nhớ này giúp học sinh nhớ nhanh các công thức lượng giác quan trọng khi học về tam giác vuông, hỗ trợ hiệu quả trong các bài toán hình học và lượng giác.

2. Các công thức lượng giác cơ bản

3. Công thức cộng lượng giác

Bí quyết ghi nhớ

Mẹo ghi nhớ công thức cộng lượng giác giúp học sinh dễ dàng nhớ các công thức lượng giác quan trọng khi cộng hoặc trừ hai góc. Dưới đây là một bài thơ về công thức cộng lượng giác mà học sinh có thể ứng dụng:

"Cos cộng cos thì bằng hai cos cos

Cos trừ cos phải bằng trừ hai sin sin

Sin cộng sin thì bằng hai sin cos

Sin trừ sin bằng hai cos sin.

Sin thì sin cos cos sin

Cos thì cos cos sin sin nhớ nha dấu trừ

Tan tổng thì lấy tổng tan

Chia một trừ với tích tan, dễ mà."

4.Công thức nhân lượng giác

Trong phần công thức nhân lượng giác được chia thành nhiều loại như sau:

• Công thức nhân đôi

• Công thức nhân 3

• Công thức nhân 4

5.Công thức hạ bậc

Công thức lượng giác hạ bậc thực tế được biến đổi từ công thức lượng giác cơ bản: 

Công thức lượng giác các cung liên kết trên đường tròn

Công thức hai góc đối nhau

• cos (-x) = cos x
• sin (-x) = -sin x
• tan (-x) = -tan x
• cot (-x) = -cot x

Công thức hai góc bù nhau

• sin (π – x) = sin x
• cos (π – x) = -cos x
• tan (π – x) = -tan x
• cot (π – x) = -cot x

Công thức hai góc phụ nhau

• sin (π/2 – x) = cos x
• cos (π/2 – x) = sin x
• tan (π/2 – x) = cot x
• cot (π/2 – x) = tan x

Công thức hai góc hơn kém π

• sin (π + x) = -sin x
• cos (π + x) = -cos x
• tan (π + x) = tan x
• cot (π + x) = cot x

Công thức hai góc hơn kém π/2

• sin (π/2 + x) = cos x
• cos (π/2 + x) = -sin x
• tan (π/2 + x) = -cot x
• cot (π/2 + x) = -tan x

Công thức lượng giác biến đổi tổng thành tích

Công thức lượng giác biến đổi tổng thành tích là một phần quan trọng trong chương trình toán học lớp 10 và 11. Nó có tác dụng đơn giản hóa các biểu thức lượng giác và hỗ trợ giải các phương trình lượng giác phức tạp.

Các công thức này chuyển đổi tổng hoặc hiệu của hai hàm lượng giác thành tích của các hàm lượng giác khác, giúp đơn giản việc xử lý và tính toán. Dưới đây là các công thức biến đổi một cách cơ bản:

Công thức lượng giác biến đổi tích thành tổng

Trong chương trình toán học THPT, học sinh cần nắm chắc các loại công thức lượng giác biến đổi tích thành tổng như sau:

Xem thêm: Công thức nhân liên hợp: Lý thuyết trọng tâm, phương pháp vận dụng

Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản và đặc biệt

Các công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản:

Công thức nghiệm của phương trình lượng giác trong trường hợp đặc biệt:

• sin a = 0 ⇔ a = kπ; (k ∈ Z)
• sin a = 1 ⇔ a = π/2 + k2π; (k ∈ Z)
• sin a = -1 ⇔ a = -π/2 + k2π; (k ∈ Z)
• cos a = 0 ⇔ a = π/2 + kπ; (k ∈ Z)
• cos a = 1 ⇔ a = k2π; (k ∈ Z)
• cos a = -1 ⇔ a = π + k2π; (k ∈ Z)

Dấu của các giá trị lượng giác

Dấu của các giá trị lượng giác phụ thuộc vào góc và góc phần tư mà chúng ta đang xét trên mặt phẳng tọa độ (vòng tròn đơn vị). Vòng tròn đơn vị được chia thành bốn góc phần tư và dấu của các giá trị lượng giác cơ bản (sin, cos, tan) trong từng góc phần tư cụ thể như sau:

Hiểu được dấu của các giá trị lượng giác trong các góc phần tư giúp trong việc giải các bài toán liên quan đến lượng giác, đặc biệt là khi xác định các giá trị hoặc đoạn góc cụ thể.

Bảng giá trị lượng giác một số góc đặc biệt

Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt rất hữu ích trong việc giải các bài toán lượng giác. Những góc này thường xuất hiện trong các bài tập và việc nhớ được giá trị của chúng sẽ giúp giải quyết vấn đề nhanh chóng và chính xác hơn. Dưới đây là bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt thường gặp, cả ở dạng độ và radian:

Việc ghi nhớ bảng này sẽ giúp bạn giải quyết nhanh chóng các bài toán lượng giác liên quan đến các góc đặc biệt này. Bạn có thể sử dụng vòng tròn lượng giác để giúp ghi nhớ các giá trị này một cách hiệu quả hơn.

Tạm kết

Bài viết trên tổng hợp các công thức lượng giác thuộc chương trình toán học dành cho học sinh từ lớp 9 đến lớp 11. Mỗi dạng công thức đều được áp dụng với những bài toán khác nhau. Ngoài ra, chúng ta có thể nắm bắt thêm một số mẹo ghi nhớ công thức đã được FPT Shop tổng hợp trong bài viết trên.

Nếu bạn cần tìm một chiếc máy tính hỗ trợ quá trình học tập, soạn bài hoặc học online hiệu quả, hãy đến ngay FPT Shop. Tại đây cung cấp nhiều dòng máy phù hợp cho học sinh, sinh viên với giá cả phải chăng và chất lượng uy tín.

Máy tính xách tay

Mời bạn xem thêm:

• 10 ứng dụng Toán học tốt nhất dành cho smartphone
• Tìm hiểu về công thức độ dài cung tròn cùng cách giải bài tập
• Toán Math – Trang web hỗ trợ học toán trực tuyến thông minh dành cho học sinh và giáo viên THCS, THPT